Catatan (aturan sigma & rumus):

  1. $\displaystyle\sum_{a=1}^n a = \dfrac{n(n+1)}{2}$

    Contoh: $\displaystyle\sum_{a=1}^{10} a = \dfrac{10\times11}{2} = 55$

  2. $\displaystyle\sum_{a=1}^n a^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

    Contoh: $\displaystyle\sum_{a=1}^{10} a^2 = \dfrac{10\times11\times21}{6}=385$

  3. Untuk nilai konstan, hasil sigma sama dengan (banyaknya suku) * (nilai konstan)

    Contoh: $\displaystyle\sum_{a=5}^8 6 = 4 \times 6 = 24$ (ada 4 suku dari 5 sampai 8)

  4. Indeks sigma bisa "digeser". Contoh: $\displaystyle\sum_{a=4}^{10} a = \sum_{a=1}^{7} (a + 3)$

Jawaban soal:

  1. Nilai $\displaystyle\sum_{a=3}^62k-5=\dots$

    ini soalnya sepertinya salah, mestinya yang di dalam sigma itu $2a-5$

    $$\begin{align*} \displaystyle\sum_{a=3}^6 2a-5 & = 2\sum_{a=3}^6 a - \sum_{a=3}^6 5 \\ & = 2 \displaystyle\sum_{a=1}^4 (a+2) - \sum_{a=3}^6 5 \\ & = 2 \left(\dfrac{4\times5}{2}+4\times 2\right) - 4 \times 5 \\ & = 2 \times 18 - 20 \\ & = 16 \end{align*}$$

    Kalau soalnya benar:

    $$\begin{align*} \displaystyle\sum_{a=3}^6 2k-5 & = 4 \times (2k-5) \\ & = 8k - 20 \end{align*}$$

  2. Nilai $\displaystyle\sum_{a=1}^4\left(\dfrac{a^2+2a-8}{6}\right)=\dots$

    $$\begin{align*} \displaystyle\sum_{a=1}^4\left(\dfrac{a^2+2a-8}{6}\right) & = \dfrac{1}{6}\left( \displaystyle\sum_{a=1}^4a^2+2a-8 \right) \\ & = \dfrac{1}{6}\left( \displaystyle\sum_{a=1}^4 a^2+ 2 \sum_{a=1}^4 a - \sum_{a=1}^48 \right) \\ & = \dfrac{1}{6}\left( \dfrac{4\times5\times9}{6} + 2\times\dfrac{4\times5}{2}-4\times8 \right) \\ & = \dfrac{1}{6}(30+20-32) \\ & = 3 \\ \end{align*}$$

  3. Nilai $\displaystyle\sum_{a=7}^{12}(a^2+14)-\displaystyle\sum_{a=1}^{6}(a^2+4a-5)=\dots$

    $$\begin{align*} \displaystyle\sum_{a=7}^{12}(a^2+14) - \sum_{a=1}^{6}(a^2+4a-5) & = \sum_{a=1}^{6}((a+6)^2+14) - \sum_{a=1}^{6}(a^2+4a-5) \\ & = \sum_{a=1}^6 \left(((a+6)^2+14) - (a^2+4a-5)\right) \\ & = \sum_{a=1}^6 \left((a^2 + 12a + 36 + 14) - (a^2 + 4a - 5)\right) \\ & = \sum_{a=1}^6 (8a + 55) \\ & = 8 \sum_{a=1}^6 a + 6 \times 55 \\ & = 8 \times \dfrac{6\times 7}{2} + 6 \times 55 \\ & = 168 + 330 \\ & = 498 \end{align*}$$

  4. Buktikan bahwa untuk semua n bilangan asli $1\times2+2\times3+\dots+n(n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$

    Akan dibuktikan dengan induksi matematika.

    Untuk nilai $n=1$: $1\times2 = 2 = \dfrac{1\times2\times3}{3}$ (benar)

    Misalkan pernyatan:

    $$1\times2+2\times3+\dots+n(n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$$

    benar untuk suatu nilai $n$. Akan dibuktikan bahwa pernyatan itu juga benar untuk nilai $n+1.$

    $$\begin{align*} & 1\times2+2\times3+\dots+n(n+1)+(n+1)(n+2) \\ & = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}+(n+1)(n+2) \\ & = \dfrac{n(n+1)(n+2) + 3(n+1)(n+2)}{3} \\ & = \dfrac{(n+1)(n+2)(n+3)}{3} \end{align*}$$

Telah dibuktikan bahwa pernyatan benar untuk nilai $n+1$.

Jadi, menurut induksi matematika, terbukti bahwa pernyataan tersebut benar untuk semua bilangan asli $n$.

Powered by Fruition